Khảo sát

Bạn là nhóm đối tượng nào dưới đây
 

Đăng ký nhận tin

Hướng dẫn đăng ký

Email của bạn:

Bạn có hài lòng với thầy cô giáo không?

Bạn có hài lòng với thầy cô giáo không?
 

Siteground Hosting

Web Hosting

Tấm lòng thầy cô

Hy vọng nhiệt huyết nghề nghiệp của mình sẽ không bao giờ tắt, mọi thứ với mình bây giờ thật sự quá tuyệt vời, dù mình không có kinh nghiệm...

toiyeusupham - avatar toiyeusupham Bình luận 02 Tháng 1 2013 Hits:3917 Tấm lòng thầy cô

Tôi yêu sư phạm

Read more

Bạn đọc viết

Đã từ lâu tôi rất thích khám phá, nghiên cứu các chuyên đề bồi dưỡng toán và tiếng việt cho các em học sinh nhưng bản thân tôi lại chưa...

hong - avatar hong Bình luận 26 Tháng 11 2012 Hits:4056 Về VnToanHoc.Net

Lời cảm ơn

Read more

Thông báo

Các tài khoản đăng ký không chính xác

Xin chào các bạn, hiện nay vntoanhoc vẫn tiếp tục nhận được email đăng ký của các bạn thành viên, tuy nhiên có rất nhiều email không chính xác hoặc...

SBT - avatar SBT Bình luận 16 Tháng 10 2013 Hits:96597 Thông báo

Read more


Logic toán và cơ sở toán học In Email
Xem kết quả: / 1
Bình thườngTuyệt vời 
Lịch sử Toán học - Lịch sử toán học
Thứ sáu, 01 Tháng 10 2010 19:51

Ta biết rằng Toán Học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các qui luật của tư duy logíc hình thức.

Các qui luật cơ bản của logíc hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (384 – 322 trước Công Nguyên) và hệ tiên đề đầu tiên của hình học đã được xây

dựng bởi Euclid cũng vào khoảng 300 năm trước Công Nguyên. Sau thời kì rực rỡ đó của nền văn minh cổ Hy Lạp, phải trải qua một giai đoạn ngưng trệ hàng nghìn năm, mãi cho đến thế kỉ 16,17 các nganh khoa học đặc biệt là Toán Học mới tìm lại được sự phát triển tiếp tục.

Giai đoạn mới khởi đầu từ những phát minh của Newton, Leibnitz về phép tính vi phân và giải tích toánhọc đã đưa toánhọc từ phạm vi “bất biến, hữu hạn” sang địa hạt của “vận động, vô hạn, liên tục”. Nhưng trong suốt mấy thế kỉ phát triển, bên cạnh những thành tựu to lớn, Toán Học vẫn chứa trong mình những “lỗ hổng” về cơ sở lý luận – cơ sở logic hình thức cho các khái niệm cơ bản như số thực, đại lượng vô cùng bé, giới hạn, biến thiên liên tục…

Georg Cantor (1845-1918)

Cho đến cuối thế kỉ 19 bước sang đầu thế kỉ 20 lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời đã đưa đến cho Toán Học niềm hy vọng giải quyết được cuộc “khủng hoảng” về cơ sở lý luận đó. Cái cốt lõi của lý thuyết tập hợp Cantor là sự hợp thức hóa phép trừu tượng về “vô hạn thực tại”, xem rằng trong Toán Học có thể hình dung mọi tập hợp bất kì dưới dạng hoàn chỉnh, trong đó các phần tử tồn tại đồng thời, độc lập và bình đẳng với tư duy. Và cùng với việc thừa nhận quan niệm “thực tại” đó về các tập hợp vô hạn, người ta cũng đồng thời tuyệt đối hóa tính hợp lý của các qui luật logíc hình thức: các qui luật của logíc hình thức dù có thể đã được hình thành cho các suy luận trên cái hữu hạn thì này có thể dùng được cho cả các suy luận trên các tập hữu hạn hoặc vô hạn, không cần phân biệt.

Lý thuyết tập hợp quả thực đã cung cấp một cơ cở tuyệt vời, không những cho việc giải quyết cuộc khủng hoảng của cơ sở giải tích toánhọc, mà rộng hơn còn cung cấp một nền tảng thống nhất cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học khác. Tuy nhiên, oái ăm thay, ngay trong những năm đầu của thế kỉ 20 người ta liên tiếp phát hiện trong lí thuyết “ngây thơ” về tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý Russell về “tập hợp của tất cả các tập hợp không là phần tử của chính mình”, nghich lý do chính Cantor phất hiện về “tập hợp của tất cả các tập hợp”, nghịch lý Bulari-Forti về “ordinal của tập sắp thứ tự hoàn toàn của tất cả các ordinal”… Việc phát hiện ra các nghịch lý như vật đã làm lung lay lòng tin của một số nhà toán học vào giá trị “nền tảng” của lý thuyết tập hợp. và khó khăn mới đó đã dẫn tới những đề nghị khác nhau về cách khắc phục. Cách khắc phục được nhiều người tán thành nhất là hạn chế ngoại diên của khái niệm “tập hợp” bằng cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp một hệ tiên đề, tức tiên đề hóa lý thuyết tập hợp trong đó không thể có những tập hợp quá “tự do” như trong các nghịch lý kể trên. Cách này đã chứng tỏ là rất hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề về tập hợp đã ra đời và đáp ứng các yêu cầu hạn chế đó.

Cùng với tiên đề hóa lý thuyết tập hợp cũng như tiên đề hóa các lý thuyết toán học, người ta cũng nghĩ nhiều đến việc tiên đề hóa các lý thuyết cơ sở về logíc – việc tiên đề hóa triệt để như vậy dẫn tới việc hình thức hóa, và ta được các hệ hình thức hóa của logíc (mệnh đề và tân từ) rồi trên cơ sở đó, các hệ hình thức hóa của Toán Học. Khi toàn bộ một lý thuyết Toán Học(cùng với cơ sở logíc của nó) đã được hình thức hóa, thì việc làm toán có thể đóng khung trong phạm vi lí thuyết hình thức đó và làm toán chỉ còn là việc thực hiện những thao tác trí tuệ trên các dòng ký hiệu hình thức theo các luật đã được hình thức hóa trong lý thuyết đó (?!). Tuy nhiên có những vấn đề về các lý thuyết Toán Họctoán học được hình thức và được xét trong 1 siêu toán học được hình thức đó thì lại không thể được xét bên trong chúng, chẳng hạn các vấn đề về tính phi mâu thuẫn, về tính đầy đủ của lý thuyết, về tính độc lập của các tiên đề v.v… . Những vấn đề như vậy có ý nghĩa quan trọng về các lý thuyết  (metamathematics) tức là một siêu lý thuyết nằm ngoài các lý thuyết hình thức nói trên.

Vào các thập niên đầu của thế kỉ 20, để cứu vãn nền tảng vững chắc cho Toán Học, Hilbert đã đề xuất một chương trình có nội dung tóm lược như sau: Hilbert xem rằng lý thuyết tập hợp (sau khi đã loại bỏ các yếu tố đưa đến nghịch lý) với quan niệm trừu tượng hóa vô hạn thực tại và sự phổ quát hóa của các qui luật logíc cổ điển(bao gồm qui luật bài trung (nói rằng 1 điều gì đó chỉ có thể là đúng hoặc chỉ có thể là sai.ct) và phủ định kép (nếu 1 ta có ((điều gì đó là sai) là sai) thì điều đó phải đúng.ct)) là cơ sở tin cậy của Toán Học. Để bảo vệ Toán Học với cơ sở đó, ta hình thức hóa Toán Họctoán học hình thức đó trong một siêu toán, và không ai có thể công kích được. Hilbert đề nghị siêu toán đó sẽ là một thứ Toán họctoán như vậy được gọi là siêu toán hữu hạn luận (finitism). thành một hệ hình thức rồi sau đó chứng minh tính phi mẫu thuẫn của hệ  không sử dụng khái niệm “vô hạn thực tại”, chỉ hạn chế trong các kiến trúc dùng một quan niệm hạn chế về vô hạn là “vô hạn tiềm năng”, và cùng với nó cũng không sử dụng phổ biến các qui luật logíc như luật bài trung. Một siêu

Vào những năm 30 của thế kỉ, nhà toán học người Áo Godel đã xây dựng được cho “số họchình thức”, một thứ siêu toán thỏa mãn các yêu cầu của hữu hạn luận, đó là số học của các hàm và quan hệ đệ quy. Nhưng rồi bất ngờ thay, chính với các phương tiện của siêu toán đó, Godel đã chứng minh được các định lý vĩ đại: nếu số học hình thức phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ, và bản thân tính phi mâu thuẫn của số học hình thức không thể tìm thấy trong số họchình thức đó (!!). Nói cách khác, mưu đồ hình thức hóa Toán Học rồi tìm cách chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó bên trong hệ hình thức đó hay với sự trợ giúp của một siêu toán hữu hạn luận là thất bại (!!). Các định lý của Godel có tác động to lớn đối với nhận thức luận khoahọc nói chung.

Một vấn đề khác cũng rất được quan tâm trong cơ sở Toán Học là vai trò của một vài giả thuyết hay tiên đề của lý thuyết tập hợp, cụ thể là giả thuyết liên tục và tiên đề chọn. Trong số 23 bài toán mà Hilbert đặt ra cho thế kỉ 20, bài toán về giả thuyết liên tục là bài toán số 1. Đầu những năm 40. Godel xây dựng mô hình cho lý thuyết tập hợp gồm các tập “kiến thiết được” và chứng minh trong mô hình đoa giả thuyết liên tục và tiên đề chọn đều đúng. Và đến giữa những năm 60, Cohen bằng khái niệm “cưỡng bức” (forcing) độc đáo của mình đã xây dựng được các mô hình của lý thuyết tập hợp trong đó giả thuyết liên tục không đúng và tiên đề chọn đúng, hoặc cả hai cùng không đúng. Như vậy cả tiên đề chọn và giả thuyết liên tục đều là vừa phi mâu thuẫn, vừa là độc lập đối với lý thuyết tiên đề về tập hợp. Những kết quả này, về nguyên tắc có thể cho ta khả năng xây dựng được những lý thuyết tập hợp trong đó tiên đề chọn (và giả thuyết liên tục) là đúng hoặc không đúng, tương tự như ta đã có hình học Euclid và hình học phi Euclid.

Logíc toán và cở sở toán học – với nội dung như vừa được điểm lại – đã được hình thành và phát triển chủ yếu vào cuối thế kỉ 19 và nừa đầu thế kỉ 20, trong 1 giai đoạn bùng phát nhiều ý tưởng và kết quả nghiên cứu đặc sắc theo hướng tìm kiếm và xây dựng một nền móng “vững chắc” cho lâu đài Toán Học.

Toán Học, như triết gia A.N. Whitehead từng nhận định: có thể coi là thành quả sáng tạo độc đáo nhất trong hoạt động tinh thần của con người, toán học thuần túy đứng ở đỉnh cao của tư duy duy lý, các kết quả của toán học được xem là khuôn mẫu của sự chính xác, nghiệm ngặt và chắc chắn, người ta thường lấy lượng Toán Học được ứng dụng để đo mức độ nghiệm ngặt của một lý thuyết khoa học. Nhưng dù Toán Học có đối tượng trực tiếp là các ý tưởng, các khái niệm trừu tượng và phương pháp phát triển Toán học chủ yếu là phương pháp suy luận logíc một cách nghêim ngặt, thì Toán Học cũng là một ngành khoa học, và trong quá trình tiến hóa biện chứng của mình, nó cũng có thể được phát hiện là có những khiếm khuyết và phải tìm cách khắc phục những khiếm khuyết để phát triển tiếp tục.

Như đã trình bày, cuộc khủng hoảng về cơ sở của Giải tích toán học vào cuối thế kỉ 19 đã dẫn đến sự ra đời của lý thuyết Cantor về tập hợp, hợp thức hóa phép trừu tượng về vô hạn thực tại, tạo các cơ sở nền móng cho Giải tích toán học và cho Toán Học nói chung. Nhưng ngày sau đó, việc phát hiện những nghịch lý trong bản thân lý thuyết tập hợp đã làm lung lay cái cơ sở nền móng vừa được xác lập. Và vấn đề xây dựng nền móng cho Toán Học hóa ra phức tạp và khó khăn hơn nhiều, không chỉ đơn giản là tìm cách định nghĩa hợp lý cho một số khái niệm nào đó. Nguời ta đặt vấn đề cần xem xét lại tính đúng đắn của một số mệnh đề ban đầu vẫn được mặc nhiên coi là đúng, và cả tính đúng đắn của một số qui tắc logíc của suy luận mà trước đó chưa hề bị hoài nghi. Một số trường phái đề xuất các giải pháp khác nhau cho việc xây dựng nền móng Toán Học đã xuất hiện, nổi bật là ba phái lớn:

Phái chủ nghĩa logíc (logicism) khởi đầu bởi G.Frege và tiếp tục bới B.Russell, A. Whitehead xem rằng không có các đối tượng toán học tồn tại độc lập, đối tượng toán học (như các con số) là các khái niệm trừu tượng, có thể được định nghĩa bởi một chuỗi các định nghĩa, do đó có thể biểu diễn qua các thuật ngữ logich, từ đó mọi phán đoán, mọi định lý toán học cũng là các phán đoán logich, bằng cách đó phái chủ nghĩa logíc chủ trương đưa toàn bộ Toán Học thành một bộ phận của logich, mà cái đúng của logíc là đúng trong mọi thế giới có thể, không phụ thuộc các đối tượng.

Phái chủ nghĩa trực giác (intuitionism) mà những người đề xướng chủ chốt là L.E.J. Brouwer, A. Heyting không những không chấp nhận việc hợp thức hóa phép trừu tượng về vô hạn “thực tại” trong Toán Học mà còn hoài nghi tính đúng đắn của nhiều quy luật logíc cổ điển dùng trong Toán Học liên quan đến các liên kết logíc “không”,”hay là”, “tồn tại” như các qui luật phủ định kép, luật bài trung, qui luật:”nếu mệnh đề (với mọi a ta có 1 “điều gì đó”) là sai, thì mệnh đề sau là đúng (tồn tại a để “điều gì đó” là sai” (.ct). Phái này đòi hỏi các đối tượng toán học phải được xây dựng rõ ràng một cách trực giác, mọi chứng minh sự tồn tại của một đối tượng phải chỉ ra được cách tìm đối tượng đó một cách trực giác….. phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại và các qui luật logíc kể trên là nguồn gốc của việc nảy sinh ra nhiều kết quả về sự tồn tại thuần túy phi trực giác trong Toán Học (kết luận về sự tồn tại của đối tượng nhưng không có cách gì để tìm ra đối tượng cụ thể đó!). Thay cho phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại, phái trực giác chỉ chấp nhận phép trừu tượng về vô hạn “tiềm năng” (trong quá trình xây dựng các đối tượng toán học, chấp nhận là sau mỗi bước đều có thể tiến hành thêm một bước tiếp theo), và thay cho logíc cổ điển chỉ được phép dùng một logíc trực giác theo đó các qui luật kể trên không còn được xem là có tính phổ biến. Phái trực giác cũng đã bắt đầu xây dựng một Toán Học trực giác của mình với nhiều kết quả trái với Toán Học cổ điển, nhưng vì nhiều quan niệm còn chưa được chính xác hóa, logíc trực giác chưa được phát triển nên việc xây dựng đó khó được tiếp tục tiến triển. Về sau này, khi các lý thuyết về “thuật toán” ra đời, có thể gán cho khái niệm “tồn tại” hay “xây dựng được” một nội dung thuật toán một cách chính xác, nhiều nhóm toán học đã phát triển các hưởng toán học kiến thiết trên cơ sở các phê phán của phái chủ nghĩa trực giác và các thành tựu của lý thuyết thuật toán, có những đóng góp và sự phát triển của Toán Học nói chung.

Khác với phái chủ nghĩa trực giác, phái chủ nghĩa hình thức (formalism) khởi xướng bởi D. Hilbert và tiếp tục bởi P. Bernays, W. Ackermann, J.V.Neumann và nhiều người khác, tuy thừa nhận rằng các mệnh đề toán học có sử dụng phép trừu tượng về vô hạn thực tại là vượt ra ngoài giới hạn của tính hiển nhiên trực giác, nhưng không vì thế mà phủ nhận toán học cổ điển. Hilbert chủ trương cứu toàn bộ toán học cổ điển thoát khỏi những phê phán của chủ nghĩa trực giác bằng cách đề xuất và thực hiện một chương trình: tiên đề hóa rồi hình thức hóa toàn bộ toán học cổ điển thành một lý thuyết tiên đề hình thức, rồi sau đó chứng minh tính phi mâu thuẫn của lý thuyết hình thức đó. Toán Học, sau khi đã được hình thức hóa sẽ được biến thành một hệ thống ký hiệu, làm toán trở thành thực hiện các thao tác trên các ký hiệu hình thức tuân theo các luật suy diễn hình thức, tính phi mâu thuẫn của một lý thuyết hình thức được định nghĩa như là tính không suy diễn được trong lý thuyết đó hai công thức hình thức mâu thuẫn nhau dạng (A đúng) và (A sai) (ở đây A là một mệnh đề nào đó, hay là 1 điều gì đó .ct). Định nghĩa đó mở đường cho khả năng chứng minh tính phi mâu thuẫn của một lý thuyết mà không phải dùng đến phương pháp mô hình vốn là phương pháp truyền thống khi chứng minh tính phi mâu thuẫn của một lý thuyết tiên đề hóa (bằng cách xây dựng cho lý thuyết đó một mô hình trong một lý thuyết khác). Ngoài ra, để đảm bảo thỏah khỏi mọi phê phán của phái chủ nghĩa trực giác, Hilbert còn đề xuất việc dùng một siêu toán với những hạn chế hữu hạn luận để nghiên cứu toán học hình thức.

Nếu chương trình của Hilbert được thực hiện mỹ mãn thì toàn bộ Toán Học cổ điển với lý thuyết tập hợp và phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại cùng với hệ thống logíc cổ điển được bảo vệ, Toán Học sẽ có được một nền tảng “vững chắc” để phát triển mà không sợ lại gặp phải khủng hoảng !!. Cũng cần nói thêm rằng hướng phát triển Toán học như phái hình thức bảo vệ được đa số các nhà toán học tán thành, nên về cơ bản Toán Học trong thế kỉ 20 vẫn được phát triển chủ yếu với việc sử dụng lý thuyết tập hợp (có phép trừu tượng vô hạn thực tại) và toàn bộ logíc cổ điển.

Tuy nhiên, những kết quả của Godel – như đã điểm qua ở trên – đã giáng một đòn mạnh vào chương trình của Hilbert. Các kết quả đó đã bác bỏ cái mà chương trình Hilbert tìm kiếm. Và hơn thế còn bác bỏ mọi mưu toan tìm kiếm bên trong Toán Học một nền tảng chắc chắn và vĩnh cửu của bản thân Toán Học, một lần cho mãi mãi. Không thể có một nền tảng như vậy, bởi nếu có thì bản thân nó cũng không thể chứng minh được là mình phi mâu thuẫn, tức là mình đúng. Nói rộng ra cái đúng của Toán Học không thể đuợc chứng minh trong bản thân Toán Học mà phải tìm ở một thế giới bên ngoài.

Thay cho lời kết

Như vậy là con đường tìm kiếm nền tảng cho Toán Học trong những thập niên đầu của thế kỉ 20 đã đi đến những kết quả trái với mong đợi, nhưng chính vì thế mà đã dẫn đến những tư duy mới trong nhận thức về những vấn đề gọi là Cơ Sở Toán Học. Toán Học, dù có đối tượng trực tiếp là những ý tưởng, những khái niệm trừu tượng nhưng đó không phải là những ý tưởng chủ quan của các nhà toán học, cũng không phải là những ý niệm khách quan tách rời hiện thực như những người thuộc trương phái Platon quan niệm, mà là những ý tưởng những khái niệm được hình thành từ nhu cầu nhận thức thực tế. Toán Học dù có nhũng đặc thù riêng của mình nhưng cũng là một ngành khoa học, tuân theo các qui luật tiến hóa của khoa học nói chung. Và cũng như mọi ngành khoa học khác, nó cũng là một sản phẩm có tính chất văn hóa, xã hội và lịc sử. Không có một thứ Toán Học duy nhất đúng, có nền tảng chắc chắn được kiến tạo một lần cho mãi mãi, kiến thức Toán Học cũng chịu sự chi phối của qui luật “có thể sai” như mọi kiến thức khoa học khác. Hình học Euclid là tuyệt vời cho việc nhận thức các cấu trúc không gian trong thế giới thông thường, nhưng khi nó không còn phù hợp với nhận thức về thế giới vĩ mô theo thuyết tương đối thì ta có thể sử dụng các hình học phi Euclid, qui luật logíc bài trung là thích hợp với những lập luận thông thường, nhưng khi thấy nó không còn thích hợp với những lập luận nhằm mục đich kiến thiết thì ta có thể không dùng nó mà thay bằng qui tắc lập luận khác, cũng như vậy, các định lý Cohen cho ta căn cứ để chấp nhận một lý thuyết tập hợp có tiên đề V nào đó mà cũng có thể chấp nhận một lý thuyết không có tiên đề đó, một lý thuyết có tiên đề chọn (hoặc giả thuyết liên tục) hay không có tiên đề (hoặc giả thuyết đo).

Sau một giai đoạn cố công đi tìm kiếm một nền tảng cho Toán Học, ngày nay toán học đã có những phát triển vượt bậc, không phải theo hướng mà các nhà sáng lập của các trường phái “chủ nghĩa nền tảng” (foundationalism) đề xướng, mà là theo những đòi hỏi của nhận thức thực tiễn, một nhận thức thực tiễn ngày càng tỏ ra phong phú, đã dạng và hết sức phức tạp. Nhận thức về Toán Học, về những vấn đề triết học của Toán Học đang có những đổi mới quan trọng, sẽ góp phần tích cực tạo nên cách nhìn mới, cơ sở mới cho sự phát triển rực rỡ mới của Toán Học, làm cho Toán học có những đóng góp ngày càng to lớn hơn nữa đối với sự phát triển của các ngành khoa học, và nói chung là đối với yêu cầu nhận thức thực tiễn trong thời đại phát triển mới của loài người.

(GS. Phan Đình Diệu )


Tin liên quan:
Tin mới hơn:
Tin cũ hơn:

 

Viết bình luận


Mã xác nhận
Lấy mã khác

Đừng bao giờ quên

Sự hiện hữu của bạn là món quà cho thế giới này. Bạn là duy nhất và không ai thay thế được bạn. Cuộc đời bạn là tất cả những gì bạn muốn, bạn hãy sống trọn vẹn từng ngày ngay từ bây giờ.

Đọc thêm...

VN Toán Học bắt đầu thử nghiệm việc nhận bài viết của quý thầy cô, học sinh và cũng như tất cả các thành viên. Vui lòng sử dụng chức năng Gửi bài viết trong phần chức năng dành cho Người dùng sau khi đã đăng nhập. Các bài viết sẽ được kiểm duyệt trước khi đưa lên hệ thống.
Joomla Templates and Joomla Extensions by JoomlaVision.Com
VN Toán Học - Thông báo: Các tài khoản đăng ký không chính xác - Thứ tư, 16 Tháng 10 2013 14:33
VN Toán Học - Hướng dẫn: Hướng dẫn Download từ Mediafire.com - Thứ ba, 30 Tháng 8 2011 08:19
VN Toán Học - Hướng dẫn: Thông tin hosting Siteground - Thứ bảy, 25 Tháng 8 2012 22:54
VN Toán Học - Thông báo: Thông báo về hoạt động của site - Thứ ba, 05 Tháng 6 2012 21:41
VN Toán Học - Thông báo: Thông báo thử nghiệm nhận tệp tin tài liệu - Thứ tư, 30 Tháng 3 2011 10:48
VN Toán Học - Thông báo: Thông báo thử nghiệm nhận bài - Chủ nhật, 10 Tháng 1 2010 00:05
VN Toán Học - Hướng dẫn: Hướng dẫn đăng ký nhận tin qua Email - Thứ bảy, 09 Tháng 1 2010 22:39
Web Hosting

downloada2z.netGiò me Xứ Nghệ - Đặc sản ba miền

Namecheap.comDichvu25h.com-Mua hàng Mỹ

Quảng cáo

Bảng quảng cáo

G9 Accounting


Kế toán Miền Bắc

Website-Hosting-Email

Bạn cần website 

Bạn cần diễn đàn

Bạn cần album ảnh

Bạn cần một tố chức một

                lớp học trực tuyến

Bạn cũng cần hệ thống:

    email,

        cửa hàng online,

           quản lý khách hàng,

...

Cho dù bạn là ai

300 hệ thống đã có sẵn 

với gói hosting của Siteground 

Chỉ với 500.000 / năm

Đặt mua ngay với VnToanHoc

để có được điều mà
bạn, lớp bạn, trường bạn

nhóm của bạn, câu lạc bộ của bạn,

và ngay cả công ty của bạn 

đang mong muốn

Hotline: Mr Hà - 098 341 1078

Yahoo/skype: habkpro

habkpro

My status

Kết bạn

Chưa có thành viên đăng nhập

Tag phổ biến

Có thể bạn chưa biết

Não bộ của trẻ và việc học toán – Sharon Begley, Hồng Nhung (dịch)

Tại sao một số trẻ lại tận dụng được hiệu quả của việc học gia sư? Và liệu một nghiên cứu nhỏ về giáo dục có thể thay đổi đáng kể hành vi các bậc cha mẹ hay không?

Đọc thêm...

Ủng hộ cho VNToanhoc

Ngân lượng

Paypal

counter easy hit